Nichtstandardanalysis

Nichtstandard|analysis,

 

Non-Standard-Analysis, neuere Art des Aufbaus insbesondere der Differenzial- und Integralrechnung, die sich nichtarchimedischer Erweiterungen des Körpers ℝ der reellen Zahlen bedient, d. h. solcher Erweiterungen, in denen es neben den gewöhnlichen reellen Zahlen auch unendlich kleine (zu null infinitesimal benachbarte) Zahlen gibt und daher auch zu jeder gewöhnlichen reellen Zahl solche zu ihr infinitesimal benachbarten Zahlen.

 

Die Nichtstandardanalysis nimmt in moderner und präzisierter Form die naiven Vorstellungen der Infinitesimalmathematik von L. Euler und G. W. Leibniz auf und erreicht dadurch eine wesentliche Vereinfachung in der Begründung zentraler Resultate der Analysis und in manchen ihrer grundlegenden Berechnungsweisen. Die genannten Erweiterungen des Körpers ℝ sind jedoch schwieriger zu veranschaulichen und mathematisch komplizierter zu konstruieren als die reellen Zahlen ℝ selbst.

 

Die für die Nichtstandardanalysis fundamentale Existenz von Nichtstandardmodellen üblicher mathematischer Strukturen wurde von T. Skolem (1934) bewiesen, dessen Ergebnisse von A. Robinson systematisch zum Aufbau der Nichtstandardanalysis erweitert wurden (1966). Ein anderer Ansatz, der v. a. in Deutschland wirksam wurde, geht auf D. Laugwitz (* 1932) und C. Schmieden (* 1905, ✝ 1991) zurück.

 

Literatur:

 

D. Laugwitz: Zahlen u. Kontinuum (1986, Nachdr. 1994);

 D. Landers u. L. Rogge: Nichtstandard Analysis (1994);

 

Nonstandard analysis in practice, hg. v. F. u. M. Diener (Berlin 1995).